如圖,二次函式y=－x2＋2(m－2)x＋3的圖象與x、y軸交於A、B、C三點,其中A(3,0),拋物線的頂點...

問題詳情：

如圖,二次函式y=－x2＋2(m－2)x＋3的圖象與x、y軸交於A、B、C三點,其中A(3,0),拋物線的頂點為D. (Ⅰ)求m的值及頂點D的座標; (Ⅱ)當a≤x≤b時,函式y的最小值為,最大值為4,求a,b應滿足的條件; (Ⅲ)在y軸右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合條件的點P的座標;如果不存在,請說明理由.

【回答】

解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3, 得－9＋6(m－2)＋3=0, 解得m=3, 則二次函式為y=－x2＋2x＋3, ∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴頂點D的座標為(1,4); (Ⅱ)把y=代入y=－x2＋2x＋3中, 得=－x2＋2x＋3, 解得x1=－,x2=,

又∵函式y的最大值為4,頂點D的座標為(1,4),

結合圖象知－≤a≤1. 當a=－時,1≤b≤, 當－＜a≤1時,b=; (Ⅲ)存在點P,使得△PDC是等腰三角形,

當x=0時,y=3,

∴點C座標為(0,3). 當△PDC是等腰三角形時,分三種情況: ①如解圖①,當DC=DP時,

由拋物線的對稱*知:點P與點C關於拋物線的對稱軸x=1對稱, ∴點P座標為(2,3); ②如解圖②,當PC=PD時,則線段CD的垂直平分線l與拋物線的交點即為所求的點P,

過點D作x軸的平行線交y軸於點H,

過點P作PM⊥y軸於點M,PN⊥DH的延長線於點N, ∵HD=HC=1,PC=PD, ∴HP是線段CD的垂直平分線. ∵HD=HC,HP⊥CD, ∴HP平分∠MHN, ∵PM⊥y軸於點M,PN⊥HD的延長線於點N, ∴PM=PN. 設P(m,－m2＋2m＋3),

則m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=, ∴點P的座標為(,)(解圖中未標記此點)或(,); ③如解圖③,當CD=CP時,點P在y軸左側,不符合題意.      綜上所述,所求點P的座標為(2,3)或(,)或(,).

    圖①           圖②         圖③

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題