如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P為BC邊上一點（不...

問題詳情：

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），連線AP，過P點作PE交DC於E，使得∠APE＝∠B．

（1）求*：△ABP∽△PCE；

（2）求AB的長；

（3）在邊BC上是否存在一點P，使得DE：EC＝5：3？如果存在，求BP的長；如果不存在，請說明理由．

【回答】

（1）先利用平角的定義和三角形的內角和定理判斷出∠BAP＝∠CPE，再判斷出四邊形ABCD是等腰梯形，進而得出∠B＝∠C，即可得出結論；

（2）利用等腰梯形的*質求出BF，進而求出AB，即可得出結論；

（3）先求出CD＝4，進而求出CE，最後藉助（1）的結論得出比例式建立方程求解，即可得出結論．

解：（1）在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB＝180°

∵∠APE＝∠B，∴∠APE+∠BAP+∠APB＝180°，

∵∠APB+∠APE+∠CPE＝180°，∴∠BAP＝∠CPE，

∵AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∴四邊形ABCD是梯形，

∵AB＝DC，∴∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；

（2）如圖，過點A作AF⊥BC於F，

在梯形ABCD中，AB＝CD，∴BF＝（BC﹣AD）＝2，

在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝4；

（3）由（2）知，AB＝4，∵CD＝AB，∴CD＝4，

∵DE：EC＝5：3，∴CE＝CD＝×4＝，∵BC＝7，∴CP＝BC﹣BP＝7﹣BP，

由（1）知，△ABP∽△PCE，∴，∴，∴BP2﹣7BP+6＝0，

∴BP＝1或BP＝6，∵點P在BC上，∴0＜BP＜7，

∴BP＝1或BP＝6．

知識點：（補充）梯形

題型：解答題