已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，點E在邊AD上（不與點A、D重合），∠...

問題詳情：

已知：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，點E在邊AD上（不與點A、D重合），∠CEB＝45°，EB與對角線AC相交於點F，設DE＝x．

（1）用含x的代數式表示線段CF的長；

（2）如果把△CAE的周長記作C△CAE，△BAF的周長記作C△BAF，設＝y，求y關於x的函式關係式，並寫出它的定義域；

（3）當∠ABE的正切值是 時，求AB的長．

【回答】

（1）CF=；（2）y=（0＜x＜2）；（3）AB=2.5.

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的*質，求得∠DAC=∠ACD=45°，進而根據兩角對應相等的兩三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然後根據相似三角形的*質和勾股定理可求解；

（2）根據相似三角形的判定與*質，由三角形的周長比可求解；

（3）由（2）中的相似三角形的對應邊成比例，可求出AB的關係，然後可由∠ABE的正切值求解.

試題解析：（1）∵AD=CD．

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∵∠CEB=45°，

∴∠DAC=∠CEB，

∵∠ECA=∠ECA，

∴△CEF∽△CAE，

∴，

在Rt△CDE中，根據勾股定理得，CE= ，

∵CA=，

∴，

∴CF=；

（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，

∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，

∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，

∴∠ECA=∠ABF，

∵∠CAE=∠ABF=45°，

∴△CEA∽△BFA，

∴（0＜x＜2），

（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，

∴，

∴，

∴AB=x+2，

∵∠ABE的正切值是，

∴tan∠ABE=，

∴x=，

∴AB=x+2=．

知識點：相似三角形

題型：解答題