．在△ABC中，AB=BC，點O是AC的中點，點P是AC上的一個動點（點P不與點A，O，C重合）．過點A，點C...

問題詳情：

．在△ABC中，AB=BC，點O是AC的中點，點P是AC上的一個動點（點P不與點A，O，C重合）．過點A，點C作直線BP的垂線，垂足分別為點E和點F，連線OE，OF．

（1）如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數量關係；

（2）如圖2，當∠ABC=90°時，請判斷線段OE與OF之間的數量關係和位置關係，並說明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，當△POF為等腰三角形時，請直接寫出線段OP的長．

【回答】

【解答】解：（1）如圖1中，延長EO交CF於K．

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO．

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK．

∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE．

（2）如圖2中，延長EO交CF於K．

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF．

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF．

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE．

（3）如圖3中，延長EO交CF於K．作PH⊥OF於H．

∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2．在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=EK=2．

∵△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2．在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP==﹣

如圖4中，當點P線上段OC上時，同法可得OP=﹣，

綜上所述：OP的長為﹣．

知識點：各地會考

題型：綜合題