如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點(不與A，B重合)，對角線AC，BD相交於點O，過點P分別作AC，...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點(不與A，B重合)，對角線AC，BD相交於點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD於點E，F，交AD，BC於點M，N.下列結論：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正確的有(　　)

A．0個                       B．1個                       C．2個                       D．3個

【回答】

D

【分析】

依據正方形的*質以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．

【詳解】

解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△APE和△AME中， ∠BAC＝∠DAC AE＝AE ∠AEP＝∠AEM， ∴△APE≌△AME（ASA），

故①正確； ∴PE＝EM＝PM， 同理，FP＝FN＝NP． ∵正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE ∴四邊形PEOF是矩形． ∴PF＝OE， ∴PE＋PF＝OA， 又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC， ∴PM＋PN＝AC，∴PM+PN=BD；

故②正確； ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠OEP＝∠EOF＝∠OFP＝90°， ∴四邊形PEOF是矩形， ∴OE＝PF，OF＝PE， 在直角△OPF中，OE²＋PE²＝PO²， ∴PE²＋PF²＝PO²，

故③正確；

∴正確的有3個，

故選：D

【點睛】

本題是正方形的*質、矩形的判定、勾股定理的綜合應用，認識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：選擇題