已知，點P是等邊三角形△ABC中一點，線段AP繞點A逆時針旋轉60°到AQ，連線PQ、QC．（1）求*：PB＝...

問題詳情：

已知，點P是等邊三角形△ABC中一點，線段AP繞點A逆時針旋轉60°到AQ，連線PQ、QC．

（1）求*：PB＝QC；

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的長度．

【回答】

（1）*見解析；（2）5.

【分析】

（1）直接利用旋轉的*質可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然後根據“SAS”*△BAP≌△CAQ，結合全等三角形的*質得出*；

（2）由△APQ是等邊三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的*質可得∠AQC =∠APB=150°,從而可求∠PQC=90°，然後根據勾股定理求PC的長即可 .直接利用等邊三角形的*質結合勾股定理即可得出*．

【詳解】

（1）*：∵線段AP繞點A逆時針旋轉60°到AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ是等邊三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中

，

∴△BAP≌△CAQ（SAS），

∴PB=QC；

（2）解：∵由（1）得△APQ是等邊三角形，

∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，

∵∠APB=150°，

∴∠PQC=150°﹣60°=90°，

∵PB=QC，

∴QC=4，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC==5．

【點睛】

本題考查了旋轉的*質，等邊三角形的*質與判定，全等三角形的判定與*質，勾股定理 .*△BAP≌△CAQ是解（1）的關鍵，*∠PQC=90°是解（2）的關鍵 .

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題