已知⊙O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交於點E．且OD⊥AC，垂足為點F．（1）如圖1，如果AC=BD，求弦A...

問題詳情：

已知⊙O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交於點E．且OD⊥AC，垂足為點F．

（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；

（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求∠ABD的餘切值；

（3）聯結BC、CD、DA，如果BC是⊙O的內接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內接正（n+4）邊形的一邊，求△ACD的面積．

【回答】

（1）AC=；（2）cot∠ABD=；（3）S△ACD=．

【解析】

（1）由AC=BD知 ，得，根據OD⊥AC知，從而得，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得*；

（2）連線BC，設OF=t，*OF為△ABC中位線及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，繼而求得EF=AC=，由余切函式定義可得*；

（3）先求出BC、CD、AD所對圓心角度數，從而求得BC=AD=、OF=，從而根據三角形面積公式計算可得．

【詳解】（1）∵OD⊥AC，

∴，∠AFO=90°，

又∵AC=BD，

∴，即，

∴，

∴，

∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，

∵AB=2，

∴AO=BO=1，

∴AF=AOsin∠AOF=1×=，

則AC=2AF=；

（2）如圖1，連線BC，

∵AB為直徑，OD⊥AC，

∴∠AFO=∠C=90°，

∴OD∥BC，

∴∠D=∠EBC，

∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，

∴△DEF≌△BEC（ASA），

∴BC=DF、EC=EF，

又∵AO=OB，

∴OF是△ABC的中位線，

設OF=t，則BC=DF=2t，

∵DF=DO﹣OF=1﹣t，

∴1﹣t=2t，

解得：t=，

則DF=BC=、AC==，

∴EF=FC=AC=，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠D，

則cot∠ABD=cot∠D=；

（3）如圖2，

∵BC是⊙O的內接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內接正（n+4）邊形的一邊，

∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，

則+2×=180，

解得：n=4，

∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，

∴BC=AC=，

∵∠AFO=90°，

∴OF=AOcos∠AOF=，

則DF=OD﹣OF=1﹣，

∴S△ACD=AC•DF=××（1﹣）=．

【點睛】本題考查了圓的綜合題、解直角三角形的應用等，綜合*較強，有一定的難度，熟練掌握和靈活應用垂徑定理、正弦三角函式、餘弦三角函式、餘切三角函式、全等三角形的判定與*質、正多邊形與圓等知識是解題的關鍵.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題