已知a＜0，曲線f（x）=2ax2+bx+c與曲線g（x）=x2+alnx在公共點（1，f（1））處的切線相同...

問題詳情：

已知a＜0，曲線f（x）=2ax2+bx+c與曲線g（x）=x2+alnx在公共點（1，f（1））處的切線相同．（Ⅰ）試求c-a的值；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）+a+1恆成立，求實數a的取值範圍．

【回答】

解：（Ⅰ）∵f（x）=2ax2+bx+c，f（1）=2a+b+c， ∴f′（x）=4ax+b，f′（1）=4a+b，又g（x）=x2+alnx，g（1）=1， ∴g′（x）=2x+，g′（1）=2+a， ∴，得，故c-a=-1；（Ⅱ）∵f（x）≤g（x）+a+1恆成立， ∴（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-2≤0對x∈（0，+∞）恆成立，令h（x）=（2a-1）x2+（2-3a）x-alnx-2，（a＜0），則h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=1或x=-＜0，（舍），故h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，則h（x）max=h（1）=-a-1≤0，解得：a≥-1，故a∈[-1，0）．