如圖，拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線AC下方的...

問題詳情：

如圖，拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的座標；

（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足∠AMH=90°？若存在，請求出點H的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）代入解析式，得

，

解得．

∴拋物線的解析式是y=2x2+5x+2；

（2）由題意可求得AC的解析式為y=x+2，

如圖1，

設D點的座標為（t，2t2+5t+2），過D作DE⊥x軸交AC於E點，

∴E點的座標為（t，t+2），

DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，

S△DAC=S△CDE+S△ADE=DE•h+DE（2﹣h）=DE•2=DE=﹣2t2﹣4t=﹣2（t+1）2+2

∵﹣2＜t＜0，

∴當t=﹣1時，△DCA的面積最大，此時D點的座標為（﹣1，﹣1）；

（3）存在點H滿足∠AMH=90°，

由（1）知M點的座標為（﹣，﹣）

如圖2：作MH⊥AM交x軸於點K（x，0），作MN⊥x軸於點N，

∵∠AMN+∠KMN=90°，∠NKM+∠KMN=90°，

∴∠AMN=∠NKM．

∵∠ANM=∠MNK，

∴△AMN∽△MKN，

∴=，

∴MN2=AN•NK，

∴（）2=（2﹣）（x+），

解得x=

∴K點座標為（，0）

直線MK的解析式為y=x﹣，

∴，

把①代入②，化簡得48x2+104x+55=0．

△=1042﹣4×48×55=64×4=256＞0，

∴x1=﹣，x2=﹣，將x2=﹣代入y=x﹣，

解得y=﹣

∴直線MN與拋物線有兩個交點M、H，

∴拋物線上存在點H，滿足∠AMH=90°，

此時點H的座標為（﹣，﹣）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題