在平面直角座標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求拋物線的解析式...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（8，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C是拋物線與y軸的交點，連線BC，設點P是拋物線上在第一象限內的點，PD⊥BC，垂足為點D．

①是否存在點P，使線段PD的長度最大？若存在，請求出點P的座標；若不存在，請說明理由；

②當△PDC與△COA相似時，求點P的座標．

【回答】

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c，

得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+4；（3分）

（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），

易得直線BC的解析式為：y=﹣x+4，

①如圖1，過P作PG⊥x軸於G，PG交BC於E，

Rt△BOC中，OC=4，OB=8，

∴BC==4，

在Rt△PDE中，PD=PE•sin∠PED=PE•sin∠OCB=PE，

∴當線段PE最長時，PD的長最大，

設P（t，），則E（t，），

∴PG=﹣，EG=﹣t+4，

∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），

當t=4時，PE有最大值是4，此時P（4，6），

∴PD==，

即當P（4，6）時，PD的長度最大，最大值是；（7分）

②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∴AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△COA∽△BOC，

當△PDC與△COA相似時，就有△PDC與△BOC相似，

∵相似三角形的對應角相等，

∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，

（I）若∠PCD=∠CBO時，即Rt△PDC∽Rt△COB，

此時CP∥OB，

∵C（0，4），

∴yP=4，

∴）=4，

解得：x1=6，x2=0（舍），

即Rt△PDC∽Rt△COB時，P（6，4）；

（II）若∠PCD=∠BCO時，即Rt△PDC∽Rt△BOC，

如圖2，過P作x軸的垂線PG，交直線BC於F，

∴PF∥OC，

∴∠PFC=∠BCO，

∴∠PCD=∠PFC，

∴PC=PF，

設P（n，+n+4），則PF=﹣+2n，

過P作PN⊥y軸於N，

Rt△PNC中，PC2=PN2+CN2=PF2，

∴n2+（+n+4﹣4）2=（﹣+2n）2，

解得：n=3，

即Rt△PDC∽Rt△BOC時，P（3，）；

綜上所述，當△PDC與△COA相似時，點P的座標為（6，4）或（3，）．（12分）

【點評】本題考查二次函式綜合題、一次函式的應用、勾股定理的逆定理、銳角三角函式、相似三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會根據方程解決問題，屬於會考壓軸題．

知識點：各地會考

題型：綜合題