△ABC中,∠C=90°,點D在邊AB上,AD=AC=7,BD=BC.動點M從點C出發,以每秒1個單位的速度沿...
問題詳情:
△ABC中,∠C=90°,點D在邊AB上,AD=AC=7,BD=BC.動點M從點C出發,以每秒1個單位的速度沿CA向點A運動,同時,動點N從點D出發,以每秒2個單位的速度沿DA向點A運動.當一個點到達點A時,點M、N兩點同時停止運動.設M、N運動的時間為t秒.
(1)求cosA的值.
(2)當以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時,求t的值.
【回答】
(1);(2)t=1或t=2.
【解析】
試題分析:(1)設BC=4m,AC=x,用m表示出AC和AB,根據三角函式定義即可求解.
(2)分⊙O與AB相切,⊙O與AC相切和⊙O與BC相切三種情況討論即可.
(1)設BC=4m,AC=x,則BD=2m,AD=x,
∵,∴ 16+=. 解之得 x=3m.
從而AB=5m.
因此cosA=.
(2)CM=t,AM=7-t,DN=2t,AN=7-2t,其中0≤t≤3.5,
記以MN為直徑的圓為⊙O,當⊙O與AB相切時,則MN⊥AB,
因此,t=2,符合題意;
當⊙O與AC相切時,則MN⊥AC,因此,t=-14,捨去;
當⊙O與BC相切時,如圖,作NE⊥BC,垂足為E.取EC的中點F,連結OF,則OF⊥BC,即點F為⊙O與BC相切的切點.連結MF,NF,則FM⊥FN,因此△FCM∽△NEF.
因此CM·EN=.
而CM=t,EN=,EF=FC=EC=,
因此,整理得,解之得 t=1,t=-14(捨去) .
綜上所得,當以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時,t=1或t=2.
考點:1.雙動點問題;2.勾股定理;3.銳角三角函式定義;4.直線與圓的位置關係;5.分類思想的應用.
知識點:勾股定理
題型:解答題
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