在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm。點P從點A出發,以每秒...
問題詳情:
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm。點P從點A出發,以每秒3cm的速度沿折線ABCD運動,點Q從點D出發,以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點C運動。已知動點P,Q同時出發,當點Q運動到點C時,P,Q運動停止,設運動時間為t秒.
(1)求CD的長.
(2)t為何值時?四邊形PBQD為平行四邊形.
(3)在點P,點Q的運動過程中,是否存在某一時刻,使得△BPQ的面積為20cm2?若存在,請求出所有滿足條件的t的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)16;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)過點A作AM⊥CD於M,四邊形AMCB是矩形,AM=BC,AD是已知的,根據勾股定理求出DM,CM=AB,所以CD就求出來了;(2)當四邊形PBQD為平行四邊形時,點P在AB上,點Q在DC上,用t表示出BP,DQ的長,滿足BP=DQ,求出t值,則BP,DQ即可求出,然後求出CQ,用勾股定理求出BQ,四邊形PBQD的周長就求出來了;(3)D從Q到C需要8秒,所以t的範圍是0≤t≤8,Q根據P所線上段不同,分三種情況討論,即①當點P線上段AB上時,即時,用t表示出BP的長,列三角形BPQ的面積等於20的方程求解;②當點P線上段BC上時,即時,用t表示出BP,CQ的長,建立三角形BPQ的面積等於20的方程求解;③當點P線上段CD上時,因為他們相遇的時間是,若點P在Q的右側,即6≤t≤,用t表示出PQ的長,進而列出面積方程式求解;若點P在Q的左側,即,用t表示出PQ的長,列出面積方程式求解.
試題解析:(1)過點A作AM⊥CD於M,根據勾股定理,AD=10,AM=BC=8,∴DM==6,∴CD=16;(2)當四邊形PBQD為平行四邊形時,點P在AB上,點Q在DC上,如圖,由題知:AP=3t,BP=10﹣3t,DQ=2t,∴10﹣3t=2t,解得t=2,此時,BP=DQ=4,CQ=12,∴,∴四邊形PBQD的周長=2(BP+BQ)=;
(3)①當點P線上段AB上時,到B點時是秒,即時,如圖,BP=10﹣3t,BC=8,∴,∴.
②當點P線上段BC上時,P到達C點t值時6秒,即時,如圖,BP=AB+BP-AB=3t﹣10,DQ=2t,CQ=16﹣2t,∴,化簡得:3t2﹣34t+100=0,△=﹣44<0,所以方程無實數解.此種情況不存在三角形BPQ的面積是20;
③當點P線上段CD上時,P點與Q點相遇時,可列2t+3t=10+8+16,t=,相遇時間是,若點P在Q的右側,即6≤t≤,則有PQ=34-(2t+3t)=34﹣5t,於是,解此方程得:
<6,捨去,若點P在Q的左側,即,則有PQ=2t+3t-34=5t﹣34,可列方程:,解得:t=7.8.∴綜合得出滿足條件的t值存在,其值分別為,t2=7.8.
考點:1.動點問題;2.分類討論三角形面積;3.梯形,矩形與三角形綜合知識..
知識點:一元二次方程
題型:解答題
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