如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,動點P從點A出發,沿AB以每秒2個單位長度的速度...
問題詳情:
如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,動點P從點A出發,沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動.過點P作PD⊥AC於點D(點P不與點A、B重合),作∠DPQ=60°,邊PQ交*線DC於點Q.設點P的運動時間為t秒.
(1)用含t的代數式表示線段DC的長;
(2)當點Q與點C重合時,求t的值;
(3)設△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S,求S與t之間的函式關係式;
(4)當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時,直接寫出t的值.
【回答】
(1)CD= 2﹣t(0<t<2);(2)1;(3)見解析;(4)t的值為秒或秒或秒.
【解析】
(1)先求出AC,用三角函式求出AD,即可得出結論;
(2)利用AD+DQ=AC,即可得出結論;
(3)分兩種情況,利用三角形的面積公式和麵積差即可得出結論;
(4)分三種情況,利用銳角三角函式,即可得出結論.
【詳解】(1)在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=4,
∴AC=2,
∵PD⊥AC,
∴∠ADP=∠CDP=90°,
在Rt△ADP中,AP=2t,
∴DP=t,AD=APcosA=2t×=t,
∴CD=AC﹣AD=2﹣t(0<t<2);
(2)在Rt△PDQ中,∵∠DPC=60°,
∴∠PQD=30°=∠A,
∴PA=PQ,
∵PD⊥AC,
∴AD=DQ,
∵點Q和點C重合,
∴AD+DQ=AC,
∴2×t=2,
∴t=1;
(3)當0<t≤1時,S=S△PDQ=DQ×DP=×t×t=t2,
當1<t<2時,如圖2,
CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2t﹣2=2(t﹣1),
在Rt△CEQ中,∠CQE=30°,
∴CE=CQ•tan∠CQE=2(t﹣1)×=2(t﹣1),
∴S=S△PDQ﹣S△ECQ=×t×t﹣×2(t﹣1)×2(t﹣1)=﹣t2+4t﹣2,
∴S=;
(4)當PQ的垂直平分線過AB的中點F時,如圖3,
∴∠PGF=90°,PG=PQ=AP=t,AF=AB=2,
∵∠A=∠AQP=30°,
∴∠FPG=60°,
∴∠PFG=30°,
∴PF=2PG=2t,
∴AP+PF=2t+2t=2,
∴t=;
當PQ的垂直平分線過AC的中點M時,如圖4,
∴∠QMN=90°,AN=AC=,QM=PQ=AP=t,
在Rt△NMQ中,NQ=,
∵AN+NQ=AQ,
∴+=2t,
∴t=,
當PQ的垂直平分線過BC的中點時,如圖5,
∴BF=BC=1,PE=PQ=t,∠H=30°,
∵∠ABC=60°,
∴∠BFH=30°=∠H,
∴BH=BF=1,
在Rt△PEH中,PH=2PE=2t,
∴AH=AP+PH=AB+BH,
∴2t+2t=5,
∴t=,
即:當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時,t的值為秒或秒或秒.
【點睛】本題是三角形綜合題,主要考查了等腰三角形的判定和*質,銳角三角函式,垂直平分線的*質,根據題意準確作出圖形、熟練掌握和運用相關知識是解題的關鍵.
知識點:實際問題與二次函式
題型:解答題
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