在平面直角座標系xOy中,已知A(0,2),動點P在y=x的圖象上運動(不與O重合),連線AP.過點P作PQ⊥...
問題詳情:
在平面直角座標系xOy中,已知A(0,2),動點P在y=x的圖象上運動(不與O重合),連線AP.過點P作PQ⊥AP,交x軸於點Q,連線AQ. (1)求線段AP長度的取值範圍; (2)試問:點P運動的過程中,∠QAP是否為定值?如果是,求出該值;如果不是,請說明理由. (3)當△OPQ為等腰三角形時,求點Q的座標.
【回答】
解:(1)由y=x知:∠POQ=30°, 當AP⊥OP時,AP取得最小值=OA•sin∠AOP=2sin60°=; (2)過點P作PH⊥x軸於點H、交過點A平行於x軸的直線與點G, ∴∠APQ=90°,∴∠AGP+∠APG=90°,∠APG+∠QPH=90°, ∴∠QPH=∠PAG,∴△PAG∽△QPH, ∴tan∠PAQ====, 則∠QAP=30°; (3)設:OQ=m,則AQ2=m2+4=4PQ2, ①當OQ=PQ時, 即PQ=OQ=m, 則m2+4=4m2,解得:m=; ②當PO=OQ時, 同理可得:m=±(4+4); ③當PQ=OP時, 同理可得:m=; 故點Q的座標為(,0)或(-,0)或(4+4,0)或(-4-4,0)或(2,0)或(-2,0). 【解析】
(1)由y=x知:∠POQ=30°,當AP⊥OP時,AP取得最小值,即可求解; (2)利用△PAG∽△QPH得:tan∠PAQ====,即可求解; (3)分OQ=PQ、PO=OQ、PQ=OP三種情況,分別求解即可. 本題為一次函式綜合題,涉及到三角形相似、等腰三角形*質,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏.
知識點:各地會考
題型:解答題
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