如圖，在平面直角座標系中，已知點A（0，1），直線l：y=﹣1．動點P滿足條件：①P在這個平面直角座標系中；②...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，已知點A（0，1），直線l：y=﹣1．動點P滿足條件： ①P在這個平面直角座標系中； ②P到A的距離和P到l的距離相等；

(1)求點P所經過的軌跡方程，並在網格中繪製這個圖象．（提示：平面直角座標系中兩點之間的距離可以通過勾股定理來求得）

(2)已知直線y=kx+1，小明同學說，這條直線與（1）中所繪的圖象有兩個交點？你能說明小明為什麼這麼說嗎？

(3)經過了上述的計算、繪圖，小明發現，如果第（2）問的兩個交點分別為B、C，那麼，過BC的中點M作直線l的垂線，垂足為H，連線BH、CH，所得到的三角形BCH是個特殊的三角形，你能說明它是什麼三角形嗎？為什麼？

【回答】

（1）解：設P的座標為P（x，y），由題意得： =|y+1|，兩邊平方得：x2+（y﹣1）2=（y+1）2 ， ∴y= x2 ，即P的軌跡為一拋物線，其圖象如圖1所示；（2）解：拋物線直線方程聯立得，消去y可得x2﹣4kx﹣4=0， ∴△=16k2+16＞0， ∴直線y=kx+1與拋物線有兩個交點；（3）解：如圖2，過B作BB′⊥l於B′，過C作CC′⊥l於C′，由（1）中的條件可得BB′=BA，CC′=CA， ∴BC=BA+AC=BB′+CC′，又由題意可得MH是梯形BB′C′C的中位線， ∴MH= （BB′+CC′）= BC， ∴MB=MC=MH， ∴△BHC是以∠BHC為直角的直角三角形．【考點】二次函式的圖象，二次函式的*質，二次函式的應用【解析】【分析】（1）設出P點座標，表示出P到A的距離和P到l的距離相等，可求得其軌跡方程，可畫出圖象；（2）聯立直線與拋物線解析式利用一元二次方程的判別式可判斷得出；（3）過B作BB′⊥l於B′，過C作CC′⊥l於C′，由條件可*MH為梯形BB′C′C的中位線，可*得△BCH為直角三角形．