定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連線它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．（1）如圖1，損...

問題詳情：

定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連線它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．

（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段　   　．

（2）線上段AC上確定一點P，使損矩形的四個頂點都在以P為圓心的同一圓上（即損矩形的四個頂點在同一個圓上），請作出這個圓，並說明你的理由．友情提醒：“尺規作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．

（3）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連線BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由．若此時AB＝3，BD＝，求BC的長．

【回答】

【解答】解：（1）只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連線它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．因此AC是該損矩形的直徑；

（2）作圖如圖：

∵點P為AC中點，

∴PA＝PC＝AC．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴BP＝DP＝AC，

∴PA＝PB＝PC＝PD，

∴點A、B、C、D在以P為圓心， AC為半徑的同一個圓上；

（3）∵菱形ACEF，

∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，

∴四邊形ABCD為損矩形，

∴由（2）可知，點A、B、C、D在同一個圓上．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，

∴，

∴AD＝CD，

∴四邊形ACEF為正方形．

∵BD平分∠ABC，BD＝，

∴點D到AB、BC的距離h為4，

∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，

S△ABC＝AB×BC＝BC，

S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），

∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD

∴BC+（BC2+9）＝6+2BC

∴BC＝5或BC＝﹣3（捨去），

∴BC＝5．

知識點：圓的有關*質

題型：解答題