我們定義：如果一個三角形一條邊上的高等於這條邊，那麼這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等...

問題詳情：

我們定義：如果一個三角形一條邊上的高等於這條邊，那麼這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”。

（1）概念理解：如圖1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，試判斷△ABC是否是“等高底”三角形請說明理由。

（2）問題探究：如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC關於BC所在直線的對稱圖形得到△A'BC，連結AA'交直線BC於點D．若點B是△AA'C的重心，求的值．

（3）應用拓展：如圖3．已知l1∥l2 ， l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點A在直線l2上，有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C，AC所在直線交l2於點D．求CD的值。

【回答】

（1）如圖1，過點A作AD⊥直線CB於點D， ∴△ADC為直角三角形，∠ADC=90°， ∵∠ACB=30°，AC=6， ∴AD= AC=3 ∴AD=BC=3. 即△ABC是“等高底”三角形。（2）如圖2， ∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”， ∴AD=BC． ∵△A'BC與△ABC關於直線BC對稱， ∴∠ADC=90° ∵點B是△AA'C的重心， ∴BC=2BD 設BD=x，則AD=BC=2x， ∴CD= x ∴由勾股定理得AC ∴ （3）①當AB= BC時， Ⅰ．如圖3．作AE⊥l1於點E，DF⊥AC於點F ∴“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2 ， ∵l1與l2之間的距離為2，AB= BC ∴BC=AE=2，AB= ， ∴BE=2，即EC=4， ∴AC= ． ∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C， ∴∠DCF=45° 設DF=CF=x ∵l1∥l2 ， ∴∠ACE=∠DAF， ∴ 即AF=2x AC=3x= ，可得x= ， ∴CD= x= Ⅱ．如圖4，此時△ABC是等腰直角三角形 ∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD= AC= 。 ②當AC= BC時， Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形， ∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C， ∴A'C⊥l1 ， ∴CD=AB=BC=2． Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1於點E，則AE=BC， ∴AC= BC= AE， ∴∠ACE=45° ∴△ABC繞點C按順時針方向旋轉45°得到△A'B'C時，點A'在直線l1上， ∴A'C∥l2 ，即直線A'C與l2無交點綜上，CD的值為，，2

【考點】含30度角的直角三角形，勾股定理，軸對稱的*質，旋轉的*質

【解析】【分析】（1）過點A作AD⊥直線CB於點D，根據30°角所對的直角邊等於斜邊的一半，可求出AD的長，從而可*得AD=BC，因此可*得結論。（2）根據已知條件△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底，可得出AD=BC，再根據△A'BC與△ABC關於直線BC對稱，可得出∠ADC=90°，然後根據點B是△AA'C的重心，得出BC=2BD，利用勾股定理就可求解。（2）分情況討論：①當AB= BC時，Ⅰ．如圖3．作AE⊥l1於點E，DF⊥AC於點F，根據已知及勾股定理求出AC的長，再根據旋轉的*質，得出∠DCF=45°，然後*△ADF∽△AEC，得出對應邊成比例，可求得CD的長；Ⅱ．如圖4，此時△ABC是等腰直角三角形，根據旋轉的*質，可得出CD的長；②當AC=BC時，Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形，可得出A'C⊥l1 ，可得出CD的長；Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1於點E，則AE=BC，根據勾股定理及相似三角形的*質，可得出CD的長。即可得出*。