我們不妨約定:對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.(1)①在“平行四邊形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“...
問題詳情:
我們不妨約定:對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.
(1)①在“平行四邊形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ;
②在凸四邊形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,則該四邊形 “十字形”.(填“是”或“不是”)
(2)如圖1,A,B,C,D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點,AC與BD交於點E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,當6≤AC2+BD2≤7時,求OE的取值範圍;
(3)如圖2,在平面直角座標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a>0,c<0)與x軸交於A,C兩點(點A在點C的左側),B是拋物線與y軸的交點,點D的座標為(0,﹣ac),記“十字形”ABCD的面積為S,記△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面積分別為S1,S2,S3,S4.求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式;
①=;②=;③“十字形”ABCD的周長為12.
【回答】
【解答】解:(1)①∵菱形,正方形的對角線互相垂直,
∴菱形,正方形是:“十字形”,
∵平行四邊形,矩形的對角線不一定垂直,
∴平行四邊形,矩形不是“十字形”,
故*為:菱形,正方形;
②如圖,
當CB=CD時,在△ABC和△ADC中,,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,
∵AB=AD,
∴AC⊥BD,
∴當CB≠CD時,四邊形ABCD不是“十字形”,
故*為:不是;
(2)∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CDB=∠CAB,
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴AC⊥BD,
過點O作OM⊥AC於M,ON⊥BD於N,連線OA,OD,
∴OA=OD=1,OM2=OA2﹣AM2,ON2=OD2﹣DN2,AM=AC,DN=BD,四邊形OMEN是矩形,
∴ON=ME,OE2=OM2+ME2,
∴OE2=OM2+ON2=2﹣(AC2+BD2),
∵6≤AC2+BD2≤7,
∴2﹣≤OE2≤2﹣,
∴≤OE2≤,
∴(OE>0);
(3)由題意得,A(,0),B(0,c),C(,0),D(0,﹣ac),
∵a>0,c<0,
∴OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,AC=,BD=﹣ac﹣c,
∴S=AC•BD=﹣(ac+c)×,S1=OA•OB=﹣,S2=OC•OD=﹣,
S3=OA×OD=﹣,S4=OB×OC=﹣,
∵=+,=+,
∴+=+,
∴=2,
∴a=1,
∴S=﹣c,S1=﹣,S4=﹣,
∵,
∴S=S1+S2+2,
∴﹣c=﹣+2,
∴﹣=﹣c•,
∴=,
∴b=0,
∴A(﹣,0),B(0,c),C(,0),d(0,﹣c),
∴四邊形ABCD是菱形,
∴4AD=12,
∴AD=3,
即:AD2=90,
∵AD2=c2﹣c,
∴c2﹣c=90,
∴c=﹣9或c=10(舍),
即:y=x2﹣9.
知識點:各地會考
題型:綜合題
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