如圖，已知銳角三角形ABC內接於⊙O，OD⊥BC於點D，連線OA.  （1）若∠BAC=60°，①求*：OD=...

問題詳情：

如圖，已知銳角三角形ABC內接於⊙O，OD⊥BC於點D，連線OA. 

（1）若∠BAC=60°，

①求*：OD= OA.

②當OA=1時，求△ABC面積的最大值。

（2）點E線上段OA上，（OE=OD.連線DE，設∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正數）.若∠ABC<∠ACB，求*：m-n+2=0.    

【回答】

（1）①*：連線OB，OC，

因為OB=OC，OD⊥BC，

所以∠B0D= ∠BOC= ×2∠BAC=60°，

所以OD= OB= OA.

②作AF⊥BC，垂足為點F，

所以AF≤AD≤AO+OD= ，等號當點A，O，D在同一直線上時取到.

由①知，BC=2BD= ，

所以△ABC的面積= BC·AF≤ × × = ，

即△ABC面積的最大值是 （2）*：設∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β. 

因為△ABC是銳角三角形，

所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，

即（m+n）α+β=180°.（*）

又因為∠ABC<∠ACB，

所以∠EOD=∠AOC+∠DOC

=2mα+β，

因為∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，

所以2（m+1）α+β=180°.（**）

由（*），（**），得m+n=2（m+1），

即m-n+2=0.

【考點】圓周角定理，圓的綜合題   

【解析】【分析】（1）①連結OB、OC，根據圓周角定理得∠BOC=120°，由等腰三角形*質得∠BOD= ∠BOC=60°，由直角三角*質即可得*.

②作AF⊥BC，垂足為F，由三角形三邊關係得AF≤AD≤AO+OD，當點A、O、D三點共線時才能取等號，由①知BC=2BD= ，由S△ABC= ·BC·AF≤ × × ，計算即可求得*.（2）設∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由周角定義得∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，即（m+n）α+β=180°①，由大邊對大角得∠ABC＜∠ACB，可得∠EOD=2mα+β，由三角形內角和定理得2（m+1）α+β=180°②，①②聯立即可得*.

知識點：各地會考

題型：綜合題