.如圖(1),在五邊形BCDAE中,CD∥AB,∠BCD=90°,CD=BC=1,AB=2,△ABE是以AB為...
問題詳情:
.如圖(1),在五邊形BCDAE中,CD∥AB,∠BCD=90°,CD=BC=1,AB=2,△ABE是以AB為斜邊的等腰直角三角形,現將△ABE沿AB折起,使平面ABE⊥平面ABCD,如圖(2),記線段AB的中點為O. (Ⅰ)求*:平面ABE⊥平面EOD; (Ⅱ)求平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小.
【回答】
.*:(Ⅰ)∵AB=2CD,O是線段AB的中點,∴OB=CD, 又∵OB∥CD,∴四邊形OBCD為平行四邊形, 又∠BCD=90°,∴AB⊥OD, 又∵O是等腰直角△EAB斜邊上的中點, ∴EO⊥AB, ∵EO∩DO=O,∴AB⊥平面EOD, ∵AB⊂平面ABE, ∴平面ABE⊥平面EOD. 解:(Ⅱ)∵平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB, ∴EO⊥平面ABCD,∴EO⊥OD, ∴OB,OD,OE兩兩垂直, 以O 為座標原點,以OB,OD,OE所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系, ∵△EAB為等腰直角三角形,且CD=BC=1, ∴OA=OB=OD=OE=1, ∴O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1), ∴=(-1,0,0),=(0,-1,1), 設平面ECD的一個法向量=(x,y,z), 則,取y=1,得=(0,1,1), ∵OD⊥平面ABE,∴是平面ABE的一個法向量, 設平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ, 則cosθ=|cos<>|==, ∴平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小為45°.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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