在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如圖1，若△ACE為等邊三角形，CD...

問題詳情：

在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．

（1）如圖1，若△ACE為等邊三角形，CD＝2，求AB的長；

（2）如圖2，作EG⊥AB，求*：AD＝BE；

（3）如圖3，作EG⊥AB，當點D與點G重合時，連線BF，請直接寫出BF與EC之間的數量關係．

【回答】

（1）AB＝3；（2）*見解析；（3）．

【解析】

（1）求出∠BAE＝15°，∠CBA＝45°，過點A作AN⊥BC於點N，則△ABN為等腰直角三角形，求出AN的長，則AB的長可求出；

（2）過點C作CM⊥AB於點M，設∠EAB＝α，得出AM＝DM＝AD，AC＝CD＝AE，*△ACM≌△EAG（AAS），得出EG＝AM，*出△EBG為等腰直角三角形，可得出BE＝EG＝AM＝AD．則結論得*．

（3）過點F作FH⊥AB於點H，過點C作CM⊥AB於點M，設BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，*出BE＝CE＝a，求出BF＝a．則可得出*．

【詳解】

解：（1）∵△ACE為等邊三角形，

∴∠CAE＝∠ACB＝∠CEA＝60°，

∵∠CAE+2∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝15°，

∴∠CBA＝∠CEA﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，

如圖，過點A作AN⊥BC於點N，

∴△ABN為等腰直角三角形，

在等邊△ACE中，AN＝sin60°•AE＝＝3，

∴AB＝AN＝3．

（2）*：如圖，過點C作CM⊥AB於點M，設∠EAB＝α，

∵∠CAE+2∠BAE＝90°，

∴∠CAE＝90°﹣2α，

∵AE⊥CD，

∴∠ACD＝2α，

∴∠CAB＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，

∴∠ACM＝α，

∴CM平分∠ACD，

∴AM＝DM＝AD，AC＝CD＝AE，

在△ACM和△EAG中，

，

∴△ACM≌△EAG（AAS），

∴EG＝AM，

∴AD＝2AM＝2EG，

∵AC＝AE，∠CAE＝90°﹣2α，

∴∠CEA＝45°+α，

又∵∠CEA＝∠B+∠EAG，

∴∠B＝45°，

∵EG⊥AB，

∴△EBG為等腰直角三角形，

∴BE＝EG＝AM＝AD．

∴AD＝BE．

（3）如圖，BF與EC之間的數量關係為．

過點F作FH⊥AB於點H，過點C作CM⊥AB於點M，

設BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，

∵DE∥CM，BD＝DM，

∴BE＝CE＝a，

∵DE＝a，AD＝2a，∠ADE＝90°，

∴AE＝＝a，

∵CD⊥AE，DE⊥AB，

∴∠EFD＝∠ADE＝90°

∴∠EDF＝∠DAE，

∴△DEF∽△AED，

∴，

∴，

∴EF＝a，

∴AF＝a﹣a＝a，

∴，

∴．

∵FH∥DE，

∴△AFH∽△AED，

∴，

∴FH＝a，

∴DH＝2a﹣a＝a，

∴BH＝a+a，

∴BF＝＝a．

∴=．

即BF與EC之間的數量關係為．

【點睛】

本題是圖形綜合題，涉及特殊三角形的*質，全等三角形的*質和判定，相似三角形的*質和判定，銳角三角函式的運用，解題的關鍵是針對每一小問的條件構造合適的輔助線利用圖形的*質和判定去*．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題