（1）【問題發現】如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作...

問題詳情：

（1）【問題發現】

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關係為　   　

（2）【拓展研究】

在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連線BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關係有無變化？請僅就圖2的情形給出*；

（3）【問題發現】

當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

【回答】

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，

根據勾股定理得，BC=AB=2，

點D為BC的中點，

∴AD=BC=，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴AF=EF=AD=，

∵BE=AB=2，

∴BE=AF，

故*為BE=AF；

（2）無變化；[來源:學科網]

如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴sin∠ABC==，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC=，

∴，

∵∠FCE=∠ACB=45°，

∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，

∴∠FCA=∠ECB，[來源:學科網ZXXK]

∴△ACF∽△BCE，

∴，

∴BE=AF，

∴線段BE與AF的數量關係無變化；

（3）當點E線上段AF上時，如圖2，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根據勾股定理得，BF=，

∴BE=BF﹣EF=﹣，

由（2）知，BE=AF，

∴AF=﹣1，

當點E線上段BF的延長線上時，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴sin∠ABC==，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC=，

∴，

∵∠FCE=∠ACB=45°，

∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，

∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴，

∴BE=AF，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根據勾股定理得，BF=，

∴BE=BF+EF=+，

由（2）知，BE=AF，

∴AF=+1．

即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．

知識點：相似三角形

題型：綜合題