如圖，在平面直角座標系中，雙曲線經過點B，連結OB．將OB繞點O按順時針方向旋轉90°並延長至A，使OA＝2O...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，雙曲線經過點B，連結OB．將OB繞點O按順時針方向旋轉90°並延長至A，使OA＝2OB，且點A的座標為（4，2）．

（1）求過點B的雙曲線的函式關係式；

（2）根據反比例函式的影象，指出當x＜－1時，y的取值範圍；

（3）連線AB，在該雙曲線上是否存在一點P，使得S△ABP＝S△ABO，若存在，求出點P座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）雙曲線的函式關係式為y=﹣；

（2）當x＜﹣1時，0＜y＜2；

（3）存在；點P座標為（﹣，4）．

【解析】

試題分析：（1）作AM⊥x軸於點M，BN⊥x軸於點N，由相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，OA=2OB，再根據OA=2OB，點A的座標為（4，2）可得出B點座標，進而得出反比例函式的關係式；

（2）由函式圖象可直接得出結論；

（3）根據AB兩點的座標可知AB∥x軸，S△ABP=S△ABO=5，再分當點P在AB的下方與當點P在x軸上方兩種情況即可得出結論．

試題解析：（1）作AM⊥x軸於點M，BN⊥x軸於點N，

∵OB⊥OA，∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM=∠NBO，

∴△AOM∽△OBN．

∵OA=2OB，

∴，

∵點A的座標為（4，2），

∴BN=2，ON=1，

∴B（﹣1，2）．

∴雙曲線的函式關係式為y=﹣；

（2）由函式圖象可知，當x＜﹣1時，0＜y＜2；

（3）存在．

∵yA=yB，

∴AB∥x軸，

∴S△ABP=S△ABO=5，

∴當點P在AB的下方時，點P恰好在x軸上，不合題意捨去；

當點P在x軸上方時，點P在第二象限，得AB•（yP﹣2）=5，即×5×（yP﹣2）=5，解得yP=4，

∴點P座標為（﹣，4）．

考點：1、相似三角形的判定與*質；2、待定係數法；3、函式大小的比較；4、反比例函式

知識點：二次函式的圖象和*質

題型：解答題