已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程.(2)已知點B(-...

問題詳情：

已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程.

(2)已知點B(-1,0),設不垂直於x軸的直線l與軌跡C交於不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,*直線l過定點.

【回答】

【解題提示】(1)由弦長的一半、半徑和絃心距構成直角三角形列出方程,化簡後得出軌跡C的方程.

(2)直線過定點可抓住該題的關鍵:x軸是∠PBQ的角平分線,即kQB+kPB=0解之.

【解析】(1)A(4,0),設圓心C(x,y),線段MN的中點為E,由幾何圖象知ME=,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.

(2)設直線l的方程為y=kx+b,聯立

得k2x2+2kbx+b2=8x,

k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0),

設P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b),

則x1+x2=,

x1x2=,

若x軸是∠PBQ的角平分線,則

kPB+kQB=+

=

===0即k=-b,

故直線l的方程為y=k(x-1),直線l過定點(1,0).

知識點：圓與方程

題型：解答題