已知圓心為C的圓,滿足下列條件:圓心C位於x軸正半軸上,圓C與直線3x-4y+7=0相切,且被y軸截得的弦長為...
問題詳情:
已知圓心為C的圓,滿足下列條件:圓心C位於x軸正半軸上,圓C與直線3x-4y+7=0相切,且被y軸截得的弦長為2,圓C的面積小於13.
(1)求圓C的標準方程;
(2)設過點M(0,3)的直線l與圓C交於不同的兩點A,B,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB.是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)設圓C的標準方程為(x-a)2+y2=r2(a>0),由題意知
解得
又因為S=πr2<13,
所以a=1,r=2,
所以圓C的標準方程為(x-1)2+y2=4.
(2)不存在這樣的直線l.
理由如下:當斜率不存在時,直線l為x=0,不滿足題意.
當斜率存在時,設直線l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0,
因為l與圓C相交於不同的兩點,
所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,
所以假設不成立.
不存在這樣的直線l.
知識點:圓與方程
題型:解答題
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