在平面直角座標系中，點，點.已知拋物線（是常數），頂點為.（Ⅰ）當拋物線經過點時，求頂點的座標；（Ⅱ）若點在軸...

問題詳情：

在平面直角座標系中，點，點.已知拋物線（是常數），頂點為.

（Ⅰ）當拋物線經過點時，求頂點的座標；

（Ⅱ）若點在軸下方，當時，求拋物線的解析式；

（Ⅲ） 無論取何值，該拋物線都經過定點.當時，求拋物線的解析式.

【回答】

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【分析】

（Ⅰ）把點A（1，0）代入求出m的值，從而確定二次函式解析式，進而求出頂點P的座標；

（Ⅱ）先由函式解析式得出頂點座標為.再結合已知條件可知，從而求出，.再進行分類討論得到拋物線解析式為；

（Ⅲ）由可知，定點H的座標為，過點作，交*線於點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，，則可*.得點的座標為或.然後進行分類討論即可求解.

【詳解】

（Ⅰ）∵拋物線經過點，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

∵，

∴頂點的座標為.

（Ⅱ）拋物線的頂點的座標為.

由點在軸正半軸上，點在軸下方，，知點在第四象限.

過點作軸於點，則.

可知，即，解得，.

當時，點不在第四象限，捨去.

∴.

∴拋物線解析式為.

（Ⅲ）由可知，

當時，無論取何值，都等於4.

得點的座標為.

過點作，交*線於點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，，則.

∵，，

∴.∴.

∵，

∴.

∴.

∴，.

可得點的座標為或.

當點的座標為時，可得直線的解析式為.

∵點在直線上，

∴.解得，.

當時，點與點重合，不符合題意，∴.

當點的座標為時，

可得直線的解析式為.

∵點在直線上，

∴.解得（舍），.

∴.

綜上，或.

故拋物線解析式為或.

【點睛】

這是一道關於二次函式的綜合題. 解題的關鍵是學會用待定係數法求二次函式關係式以及用分類討論的思想思考問題.

知識點：二次函式的圖象和*質

題型：解答題