在平面直角座標系中，已知拋物線（為常數）的頂點為，等腰直角三角形的定點的座標為，的座標為，直角頂點在第四象限....

問題詳情：

在平面直角座標系中，已知拋物線（為常數）的頂點為，等腰直角三角形的定點的座標為，的座標為，直角頂點在第四象限.

（1）如圖，若該拋物線過 ，兩點，求該拋物線的函式表示式；（3分）

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點在直線上滑動，且與交於另一點.

i）若點在直線下方，且為平移前（1）中拋物線上的點，當以

三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求所有符合條件的點的座標；（4分）

ii）取的中點，連線.試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由. （2分）

【回答】

解（1）A(0,-1)  C(4,3) 

            則｜AC｜=

ABC為等腰直角三角形 ∴AB=BC=4

∴B點(4,-1)將A,B代入拋物線方程有

⇒

∴…………………………………..3

（2）當頂點P在直線AC上滑動時，平移後拋物線與AC另一交點Q就是A點沿直線AC滑動同樣的單位。

  原拋物線

∴頂點P為(2,1)

設平移後頂點P為(a,a-1),

則平移後拋物線

聯立y=x-1(直線AC方程)   得Q點為（a-2,a-3）∴｜PQ｜=

 即實際上是線段AP在直線AC上的滑動.

 ⅰ）點M在直線AC下方，且M,P,Q構成等腰直角三角形，

那麼先考慮使MP,Q構成等腰直角三角形的M點的軌跡，

再求其軌跡與拋物線的交點以確定M點.

①     若∠M為直角，

則M點軌跡即為AC下方距AC為MH且與AC平行的直線l

   又知｜PQ｜= ，則｜MH｜=  ｜PM｜=2

直線l即為AC向下平移｜PM｜=2個單位 L:y=x-3  聯立

得x=1± M點為（1+，-2）或（1-，--2）…………………………5

②     若∠P=或∠Q為直角，即PQ為直角邊，MQ⊥PQ且，MQ=PQ=

或MP⊥PQ,且MP=PQ=,∴M點軌跡是AC下方距AC為且與AC平行直線L

直線L即為AC向下平移｜MP｜=4個單位L:y=x-5聯立

得x=4或x=-2∴M點為(4,-1)或（-2，-7）

綜上所有符合條件的點M為（1+，-2）（4,-1）；

（1-，--2）,（-2，-7）…………………7

ⅱ)(特別說明：解答中的M都應該換成F)

知PQ=  有最大值，即NP+BQ有最小值

如下圖，取AB中點F，連結QF,NF,知N為中點∴FN為AC邊中位線，∴FN∥AC且FN=AC==PQ∴ ∴FNPQ為平行四邊形

即PN=QF   ∴QB+PN=BQ+FQ   此時，作B點關於AC對稱的點B′,連,

交AC於點H，易知=BQ

∴BQ+PN=+FQ≥(三角形兩邊之和大於第三邊)僅當Q與H重合時，取等號

即BQ+PN最小值存在 且最小值為連結知為等腰直角三角形。

=4，AF=AB=2  ∴由勾股定理得

∴最大值存在，且最大值為  ………………9

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題