已知圓O的方程為x2＋y2＝1，直線l1過點A(3，0)，且與圓O相切．(1)求直線l1的方程；(2)設圓O與...

問題詳情：

已知圓O的方程為x2＋y2＝1，直線l1過點A(3，0)，且與圓O相切．

(1)求直線l1的方程；

(2)設圓O與x軸交於P，Q兩點，M是圓O上異於P，Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2於點P′．直線QM交直線l2於點Q′．求*：以P′Q′為直徑的圓C總過定點，並求出定點座標．

【回答】

解析：(1)由題意可知，直線l的斜率顯然存在．

因為直線l1過點A(3，0)，所以設直線l1的方程為y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，則圓心O(0，0)到直線l1的距離為d＝＝1，

解得k＝±．

所以直線l1的方程為y＝±(x－3)，

即x＋4y－3＝0或x－4y－3＝0．

(2)在圓O的方程x2＋y2＝1中，

令y＝0得x＝±1，

即P(－1，0)，Q(1，0)．又直線l2過點A與x軸垂直，

所以直線l2的方程為x＝3，設M(s，t)，則直線PM的方程為y＝(x＋1)．

解方程組

得P′(3，)．

同理可得Q′(3，)．

以P′Q′為直徑的圓C的方程為(x－3)·(x－3)＋(y－)(y－)＝0，

又s2＋t2＝1，

所以整理得(x2＋y2－6x＋1)＋y＝0，

若圓C經過定點，則y＝0，

從而有x2－6x＋1＝0，

解得x＝3±2，

所以圓C總經過的定點座標為(3±2，0)．

知識點：圓與方程

題型：解答題