設點C（x，y）是平面直角座標系的動點，M（2，0），以C為圓心，CM為半徑的圓交y軸於A，B兩點，弦AB的長...

問題詳情：

設點C（x，y）是平面直角座標系的動點，M（2，0），以C為圓心，CM為半徑的圓交y軸於A，B兩點，弦AB的長|AB|=4．

（Ⅰ）求點C的軌跡方程；

（Ⅱ）過點F（1，0）作互相垂直的兩條直線l1，l2，分別交曲線C於點P、Q和點K、L．設線段PQ，KL的中點分別為R、T，求*：直線RT恆過一個定點．

【回答】

（Ⅰ）設動點C的座標為（x，y），由題意得，，

化簡得y2=4x，所以拋物線的標準方程為y2=4x．（3分）

（Ⅱ）設P、Q兩點座標分別為（x1，y1），（x2，y2），則點R的座標為．

顯然直線l1斜率存在且不為0，由題意可設直線l1的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），

代入橢圓方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．（5分）

△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．

所以點R的座標為（1+，）． （6分）

由題知，直線l2的斜率為﹣，同理可得點T的座標為（1+2k2，﹣2k）．

當k≠±1時，有，此時直線RT的斜率． （8分）

所以，直線RT的方程為y+2k=（x﹣1﹣2k2），

整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，

於是，直線RT恆過定點E（3，0）；（10分）

當k=±1時，直線RT的方程為x=3，也過E（3，0）．

綜上所述，直線RT恆過定點E（3，0）（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題