如圖，在平面直角座標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，線段AD=6，二次函式y=﹣x2﹣x+4與y軸交於A點，...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，線段AD=6，二次函式y=﹣x2﹣x+4與y軸交於A點，與x軸分別交於B點、E點（B點在E點的左側）

（1）分別求A、B、E點的座標；

（2）連線AE、OD，請判斷△AOE與△AOD是否相似並說明理由；

（3）若點M在平面直角座標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出F點的座標，若不存在，請說明理由．

【回答】

【考點】二次函式綜合題．

【分析】（1）分別將x=0和y=0代入可求得A、B、E點的座標；

（2）根據座標求出AO和OE的長，將兩個直角三角形對應小直角邊計算比值為，對應大直角邊計算比值也是，所以根據兩邊對應成比例，且夾角相等，所以兩三角形相似；

（3）只需要滿足△ACF為等腰三角形，即可找到對應的菱形，所以構建△ACF為等腰三角形有四種情況：①以A為圓心畫圓，交直線AB於F1、F2，②作AC的中垂線交直線AB於F3，③以C為圓心，以AC為半徑，畫圓交直線AB於F4，利用勾股定理列式可求得點F的座標．

【解答】解：（1）當x=0時，y=4，

∴A（0，4），

當y=0時，﹣ x2﹣x+4=0，

2x2+x﹣24=0，

（x+3）（3x﹣8）=0，

x1=﹣3，x2=，

∴B（﹣3，0），E（，0）；

（2）△AOE與△AOD相似，理由是：

∵A（0，4），

∴OA=4，

∵E（，0），

∴OE=，

∴==， =，

∴，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵BC⊥AO，

∴AD⊥AO，

∴∠OAD=∠AOE=90°，

∴△AOE∽△DAO，

（3）如圖2，在Rt△AOC中，AC=4，OC=3，

∴AC=5，

同理AB=5，

∴△ABC是等腰三角形，

∴當F與B重合時，存在A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形，

即F1（﹣3，0），

當AF2=AB=5時，△AF2C是等腰三角形，存在A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形，

此時F2與B關於點A對稱，

∴F2（3，8），

設直線AB的解析式為：y=kx+b，

把A（0，4），B（﹣3，0）代入得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y=x+4，

如圖2，作AC的中垂線l，交直線AB於F3，連線F3C，分別過A、F3作x軸、y軸的平行線，交於H，HF3交x軸於G，

則AF3=F3C，

設F3（x， x+4），

則=，

（﹣x）2+（4﹣x﹣4）2=（﹣x﹣4）2+（﹣x+3）2，

x=﹣，

當x=﹣時，y=×+4=﹣，

∴F3（﹣，﹣）；

如圖3，以C為圓心，以AC為半徑，畫圓交直線AB於F4，過F4作F4P⊥x軸於P，則AC=F4C，

設F4（x， x+4），

則，

=0，

25x2+42x=0，

x（25x+42）=0，

x1=0（舍），x2=﹣，

當x=﹣時，y=，

∴F4（﹣，），

綜上所述，F點的座標為：F1（﹣3，0），F2（3，8），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．

【點評】本題是二次函式的綜合題，考查了二次函式與兩座標軸的交點、平行四邊形、菱形和等腰三角形的*質和判定、相似三角形的*質和判定，在構建等腰三角形時，分三種情況進行討論，根據腰長相等並與勾股定理相結合列式解決問題．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題