已知橢圓C:=1(a>b>0),定義橢圓C上的點M(x0,y0)的“伴隨點”為.(1)求橢圓C上的點M的“伴隨...
問題詳情:
已知橢圓C: =1(a>b>0),定義橢圓C上的點M(x0,y0)的“伴隨點”為.
(1)求橢圓C上的點M的“伴隨點”N的軌跡方程;
(2)如果橢圓C上的點(1,)的“伴隨點”為(,),對於橢圓C上的任意點M及它的“伴隨點”N,求的取值範圍;
(3)當a=2,b=時,直線l交橢圓C於A,B兩點,若點A,B的“伴隨點”分別是P,Q,且以PQ為直徑的圓經過座標原點O,求△OAB的面積.
【回答】
(1)設N(x,y)由題意,則,
又,
∴,
從而得x2+y2=1…(3分)
(2)由,得a=2.又,得.
∵點M(x0,y0)在橢圓上,,,且,
•=(x0,y0)(,)=+=x02+,
由於,的取值範圍是[,2]…(6分)
(3)設A(x1,y1),B(x2,y2),則;
1)當直線l的斜率存在時,設方程為y=kx+m,由,
得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0;
有①…(7分)
由以PQ為直徑的圓經過座標原點O可得:3x1x2+4y1y2=0;
整理得:②
將①式代入②式得:3+4k2=2m2,…(8分)
3+4k2>0,則m2>0,△=48m2>0,
又點O到直線y=kx+m的距離,
丨AB丨==×=×,
∴…(9分)
2)當直線l的斜率不存在時,設方程為x=m(﹣2<m<2)
聯立橢圓方程得;代入3x1x2+4y1y2=0,得,
解得m2=2,從而,(10分)
S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=,
綜上:△OAB的面積是定值.…(12分)
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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