如圖，拋物線與x軸交於A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜x2，與y軸交於點C（0，﹣4），其中x1，...

問題詳情：

如圖，拋物線與x軸交於A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜x2，與y軸交於點C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC於點N，連線CM，當△CMN的面積最大時，求點M的座標；

（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

【考點】HF：二次函式綜合題．

【分析】（1）根據一元二次方程解法得出A，B兩點的座標，再利用交點式求出二次函式解析式；

（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出，進而得出函式的最值；

（3）分別根據當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等於DE與當AF為平行四邊形的對角線時，分析得出符合要求的*．

【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

∴A（﹣2，0），B（6，0），

又∵拋物線過點A、B、C，故設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣6），

將點C的座標代入，求得，

∴拋物線的解析式為；

（2）設點M的座標為（m，0），過點N作NH⊥x軸於點H（如圖（1））．

∵點A的座標為（﹣2，0），點B的座標為（6，0），

∴AB=8，AM=m+2，

∵MN∥BC，∴△MNA∽△BCA．

∴，

∴，

∴，

∴，

=，

=．

∴當m=2時，S△CMN有最大值4．

此時，點M的座標為（2，0）；

（3）∵點D（4，k）在拋物線上，

∴當x=4時，k=﹣4，

∴點D的座標是（4，﹣4）．

①如圖（2），當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等於DE，

∵D（4，﹣4），∴DE=4．

∴F1（﹣6，0），F2（2，0），

②如圖（3），當AF為平行四邊形的對角線時，設F（n，0），

∵點A的座標為（﹣2，0），

則平行四邊形的對稱中心的橫座標為：，

∴平行四邊形的對稱中心座標為（，0），

∵D（4，﹣4），

∴E'的橫座標為：﹣4+=n﹣6，

E'的縱座標為：4，

∴E'的座標為（n﹣6，4）．

把E'（n﹣6，4）代入，得n2﹣16n+36=0．

解得．，，

綜上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2，0），F4（8+2，0）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題