已知函式．（1）判斷函式的奇偶，並給出；（2）解不等式：；（3）若函式在上單調遞減，比較f（2）+f（...

問題詳情：

已知函式．（1）判斷函式的奇偶*，並給出*；（2）解不等式：；（3）若函式在上單調遞減，比較f（2）+f（4）+…+f（2n）與2n（n∈N*）的大小關係，並說明理由．

【回答】

解：（1）函式f（x）為奇函式． *如下：由，解得x＜-1或x＞1，所以函式的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）對任意的x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），有，所以函式f（x）為奇函式．…4分（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，則 ==，因為x2＞x1＞1，所以x1•x2+x2-x1-1＞x1•x2-（x2-x1）-1＞0，所以，所以f（x1）-f（x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以函式y=f（x）在（1，+∞）單調遞減；由f（x2+x+3）+f（-2x2+4x-7）＞0得：f（x2+x+3）＞-f（-2x2+4x-7），即f（x2+x+3）＞f（2x2-4x+7），又，2x2-4x+7=2（x-1）2+5＞1 ，所以x2+x+3＜2x2-4x+7，解得：x＜1或x＞4，所以原不等式的解集為：（-∞，1）∪（4，+∞）．8分（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下：因為，所以f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]，又g（x）=lnx-（x-1）在（1，+∞）上單調遞減，所以當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，所以g（2n+1）＜0，即ln（2n+1）-[（2n+1）-1]＜0，故f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．