如圖,在平面直角座標系xOy中,已知點F1、F2分別為橢圓E:的左、右焦點,A,B分別是橢圓E的左、右頂點,D...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,已知點F1、F2分別為橢圓E:的左、右焦點,A,B分別是橢圓E的左、右頂點,D(1,0)為線段OF2的中點,且.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若M為橢圓上的動點(異於A、B),連線MF1並延長交橢圓E於點N,連線MD、ND並分別延長交橢圓E於點P、Q,連線PQ設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2,試問題是否存在常數,使得恆成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【回答】
(1)(2)-
【解析】
(1)∵+5=0,∴=5.∴a+c=5(a-c),化簡得2a=3c,故橢圓E的離心率為.
(2)存在滿足條件的常數λ,λ=-.點D(1,0)為線段OF2的中點,∴c=2,從而a=3,b=,左焦點F1(-2,0),橢圓E的方程為=1,設M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),則直線MD的方程為x=y+1,代入橢圓方程=1,整理得,y2+y-4=0.∵y1+y3=,∴y3=.從而x3=,故點P.同理,點Q.∵三點M、F1、N共線,∴,從而x1y2-x2y1=2(y1-y2).從而k2=,故k1-=0,從而存在滿足條件的常數λ=-
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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