如圖8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點,過點M分別作AB、AC的平行線交AC於...
問題詳情:
如圖8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點,過點M分別作AB、AC的平行線交AC於P,交AB於Q.
圖8-54
(1)求四邊形AQMP的周長;
(2)寫出圖中的兩對相似三角形(不需*);
(3)M位於BC的什麼位置時,四邊形AQMP為菱形?說明你的理由.
【回答】
2a.
提示:根據平行的*質可以得到平行四邊形和兩個等腰三角形,由對邊和腰相等,四邊形的周長等於△ABC的兩腰之和.
∵PM∥AB,QM∥AC,
∴四邊形AQMP為平行四邊形,
且∠1=∠C,∠2=∠B.
又∵AB=AC=a,
∴∠B=∠C.
∴∠1=∠B=∠C=∠2.
∴QB=QM,PM=PC.
∴四邊形AQMP的周長為
AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a.
(2)*:△BQM∽△MPC∽△BAC.
(3)*:當M為底邊BC的中點時,四邊形AQMP為菱形.
提示:四邊形AQMP已是平行四邊形,要使之為菱形,則需有一組鄰邊相等.
理由:∵M為底邊BC的中點,
∴BM=CM.
由(1)知∠B=∠C,∠1=∠2,
∴△BQM≌△CMP.
∴PM=QM.
由(1)四邊形AQMP為平行四邊形,
∴四邊形AQMP為菱形.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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