二次函式y=x2+px+q的頂點M是直線y=﹣和直線y=x+m的交點．（1）若直線y=x+m過點D（0，﹣3）...

問題詳情：

二次函式y=x2+px+q的頂點M是直線y=﹣和直線y=x+m的交點．

（1）若直線y=x+m過點D（0，﹣3），求M點的座標及二次函式y=x2+px+q的解析式；

（2）試*無論m取任何值，二次函式y=x2+px+q的圖象與直線y=x+m總有兩個不同的交點；

（3）在（1）的條件下，若二次函式y=x2+px+q的圖象與y軸交於點C，與x的右交點為A，試在直線y=﹣上求異於M的點P，使P在△CMA的外接圓上．

【回答】

【解答】解：（1）把D（0，﹣3）座標代入直線y=x+m中，

得m=﹣3，從而得直線y=x﹣3，

由M為直線y=﹣與直線y=x﹣3的交點，[來源:]

得，

解得，，

∴得M點座標為M（2，﹣1），

∵M為二次函式y=x2+px+q的頂點，

∴其對稱軸為x=2，

由對稱軸公式：x=﹣，得﹣=2，

∴p=﹣4；

由=﹣1，

=﹣1，

解得，q=3．

∴二次函式y=x2+px+q的解析式為：y=x2﹣4x+3；

（2）∵M是直線y=﹣和y=x+m的交點，

∴，

解得，，

∴M點座標為M（﹣，），

∴﹣=﹣、=，

解得，p=，q=+，

由，得x2+（p﹣1）x+q﹣m=0，

△=（p﹣1）2﹣4（q﹣m）

=（﹣1）2﹣4（+﹣m）=1＞0，

∴二次函式y=x2+px+q的圖象與直線y=x+m總有兩個不同的交點；

（3）由（1）知，二次函式的解析式為：y=x2﹣4x+3，

當x=0時，y=3．

∴點C的座標為C（0，3），

令y=0，即x2﹣4x+3=0，

解得x1=1，x2=3，

∴點A的座標為A（3，0），

由勾股定理，得AC=3．

∵M點的座標為M（2，﹣1），

過M點作x軸的垂線，垂足的座標應為（2，0），

由勾股定理得，AM=，

過M點作y軸的垂線，垂足的座標應為（0，﹣1），

由勾股定理，得CM===2．

∵AC2+AM2=20=CM2，

∴△CMA是直角三角形，

CM為斜邊，∠CAM=90°．

直線y=﹣與△CMA的外接圓的一個交點為M，另一個交點為P，

則∠CPM=90°．即△CPM為Rt△，

設P點的橫座標為x，則P（x，﹣）．過點P作x軸垂線，

過點M作y軸垂線，兩條垂線交於點E，則E（x，﹣1）．

過P作PF⊥y軸於點F，則F（0，﹣）．

在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2

=（﹣+1）2+（2﹣x）2=﹣5x+5．

在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2=x2+（3+）2

=+3x+9．

在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2，

得+3x+9+﹣5x+5=20，

化簡整理得5x2﹣4x﹣12=0，

解得x1=2，x2=﹣．

當x=2時，y=﹣1，即為M點的橫、縱座標．

∴P點的橫座標為﹣，縱座標為，

∴P（﹣，）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題