定義在D上的函式f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的...

問題詳情：

定義在D上的函式f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函式，其中M稱為函式f（x）的一個上界．已知函式，．

（1）求函式f（x）在區間上的所有上界構成的*；

（2）若函式g（x）在[0，+∞）上是以7為上界的有界函式，求實數a的取值範圍．

【回答】

【解析】

（1）首先求出函式在區間的單調*，再根據單調*即可求出函式的值域，從而求出函式在區間上的所有上界構成的*.

（2）將問題轉化為在上恆成立，通過換元法求出相應的最值即可求出的取值範圍.

【詳解】（1），

由複合函式的單調*法則易知，函式在上單調遞減，

∴函式在區間上單調遞減，

∴函式在區間上的值域為，

∴，

∴函式在區間上所有上界構成的*為.

（2）由題意知，在上恆成立，即，

則，

∴在上恆成立，

設， ，.

易知，在上為增函式，故，

由知，當時，，為減函式，

故，

綜上，實數的取值範圍為.

【點睛】本題主要考查了函式的新定義問題，同時考查了函式的單調*和函式的值域問題，換元法求函式的值域為解題的關鍵，屬於難題.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題