如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線...

問題詳情：

如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數量關係，並給出*．

【回答】

CN=MN+BM，見解析

【分析】

採用“截長補短”法，在CN上擷取點E，使CE=BM，連線DE，結合等邊及等腰三角形的*質利用SAS可*△MBD≌△ECD，繼而可*△MND≌△END，由全等的*質可得結論.

【詳解】

解：CN=MN+BM．*：

如圖，在CN上擷取點E，使CE=BM，連線DE，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°．

又∵△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．

在△MBD和△ECD中，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．

又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，

∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．

∴∠MDN=∠EDN．

在△MND與△END中，

∴△MND≌△END（SAS）．

∴MN=NE．

∴CN=NE+CE=MN+BM．

【點睛】

本題考查了等邊及等腰三角形的*質及全等三角形的判定和*質，並採用了截長補短法，靈活利用已知條件*三角形全等是解題的關鍵.

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題