（2012•安嶽縣模擬）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．過點B作直線EF⊥BC，點P為...

問題詳情：

（2012•安嶽縣模擬）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．過點B作直線EF⊥BC，點P為線段AB上一動點（與點A，B均不重合），過點P作MN∥BC並交AC於點M，交EF於點N，作PD⊥PC，交直線EF於點D．（1）若點D線上段NB上（如圖1）求*：△PCM≌△DPN；（2）若點D線上段NB延長線上（如圖2）且BP=BD，求AP的長；（3）設AP=x，且P、C、D、B為頂點的四邊形的面積為y，請直接寫出y與x的函式關係式．

試題*
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分析：（1）易知四邊形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的對邊MC=NB．等腰直角△PNB的兩直角邊PN=NB，即PN=CM；然後根據同角的餘角相等*得∠MCP=∠NPB；最後由全等三角形的判定定理ASA*得△PCM≌△DPN；（2）易知四邊形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根據全等三角形（△MCP≌△NDP）的對應邊相等、勾股定理來求線段AP的長度．（3）需要分類討論：若點D線上段NB上（如圖1），寫出y與x的函式關係式；若點D線上段NB延長線上（如圖2），寫出y與x的函式關係式．
解答：（1）*：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，∴AC∥EF．又∵MN∥BC，∴四邊形MCBN是矩形，∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°．∴∠PBN=∠NPB=45°，∴NP=NB．∴MC=NP．又∵PD⊥PC，∠MCP=∠DPN（同角的餘角相等）．在△PCM與△DPN中，

∠PMC=∠DNP MC=NP ∠MCP=∠DPN

，∴△PCM≌△DPN（ASA）；解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．∴AB=

2

．同（1）：四邊形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），則MC=NB，MP=ND．∵∠A=∠PBN=45°，∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，∴AM=PM，PN=NB，∴AP=

2

AM，BP=

2

BN=

2

MC．∵BP=BD，∴ND=NB+BD=MC+

2

MC=MP=AM，即1-AM+

2

（1-AM）=AM，解得，AM=

2

2

，∴AP=

2

AM=1；（3）①若點D線上段NB上（如圖1），S四邊形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-

2

2

x）-2×

1

2

×（1-

2

2

x）×

2

2

x=

1

2

x2-

2

x+1，即y=

1

2

x2-

2

x+1；②若點D線上段NB延長線上（如圖2），連線CD．S四邊形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=

1

2

（MC+AM）•BC-

1

2

AM•MC-

1

2

MC•MC=

1

2

×1×1-

1

2

×

2

2

x×（1-

2

2

x）-

1

2

（1-

2

2

x）（1-

2

2

x）=

2

4

x，即y=

2

4

x．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與*質，全等三角形的判定與*質等知識點．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．

【回答】

分析：（1）易知四邊形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的對邊MC=NB．等腰直角△PNB的兩直角邊PN=NB，即PN=CM；然後根據同角的餘角相等*得∠MCP=∠NPB；最後由全等三角形的判定定理ASA*得△PCM≌△DPN；（2）易知四邊形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根據全等三角形（△MCP≌△NDP）的對應邊相等、勾股定理來求線段AP的長度．（3）需要分類討論：若點D線上段NB上（如圖1），寫出y與x的函式關係式；若點D線上段NB延長線上（如圖2），寫出y與x的函式關係式．
解答：（1）*：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，∴AC∥EF．又∵MN∥BC，∴四邊形MCBN是矩形，∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°．∴∠PBN=∠NPB=45°，∴NP=NB．∴MC=NP．又∵PD⊥PC，∠MCP=∠DPN（同角的餘角相等）．在△PCM與△DPN中，

∠PMC=∠DNP MC=NP ∠MCP=∠DPN

，∴△PCM≌△DPN（ASA）；解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．∴AB=

2

．同（1）：四邊形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），則MC=NB，MP=ND．∵∠A=∠PBN=45°，∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，∴AM=PM，PN=NB，∴AP=

2

AM，BP=

2

BN=

2

MC．∵BP=BD，∴ND=NB+BD=MC+

2

MC=MP=AM，即1-AM+

2

（1-AM）=AM，解得，AM=

2

2

，∴AP=

2

AM=1；（3）①若點D線上段NB上（如圖1），S四邊形PCBD=S矩形MCBN-2S△PMC=1×（1-

2

2

x）-2×

1

2

×（1-

2

2

x）×

2

2

x=

1

2

x2-

2

x+1，即y=

1

2

x2-

2

x+1；②若點D線上段NB延長線上（如圖2），連線CD．S四邊形PCBD=S梯形MCDN-S△PMC-S△PNB=

1

2

（MC+AM）•BC-

1

2

AM•MC-

1

2

MC•MC=

1

2

×1×1-

1

2

×

2

2

x×（1-

2

2

x）-

1

2

（1-

2

2

x）（1-

2

2

x）=

2

4

x，即y=

2

4

x．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定與*質，全等三角形的判定與*質等知識點．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．

知識點：

題型：