如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．（1）*...

問題詳情：

如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．

（1）*與推斷：

①求*：四邊形CEGF是正方形；

②推斷：的值為　   　：

（2）探究與*：

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數量關係，並說明理由：

（3）拓展與運用：

正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD於點H．若AG=6，GH=2，則BC=　   　．

【回答】

（1）①四邊形CEGF是正方形；②；（2）線段AG與BE之間的數量關係為AG=BE；（3）3

【解析】

（1）①由、結合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得*；

②由正方形*質知、，據此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連線CG，只需*∽即可得；

（3）*∽得，設，知，由得、、，由可得a的值．

【詳解】

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，

∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，

∴EG=EC，

∴四邊形CEGF是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形，

∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，

∴，GE∥AB，

∴，

故*為；

（2）連線CG，

由旋轉*質知∠BCE=∠ACG=α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

=、=，

∴=，

∴△ACG∽△BCE，

∴，

∴線段AG與BE之間的數量關係為AG=BE；

（3）∵∠CEF=45°，點B、E、F三點共線，

∴∠BEC=135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC=∠BEC=135°，

∴∠AGH=∠CAH=45°，

∵∠CHA=∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴，

設BC=CD=AD=a，則AC=a，

則由得，

∴AH=a，

則DH=AD﹣AH=a，CH==a，

∴由得，

解得：a=3，即BC=3，

故*為3．

【點睛】

本題考查了正方形的*質與判定，相似三角形的判定與*質等，綜合*較強，有一定的難度，正確新增輔助線，熟練掌握正方形的判定與*質、相似三角形的判定與*質是解題的關鍵.

知識點：相似三角形

題型：解答題