如圖1，已知二次函式y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交於點A(0，4)，與x軸交於點B，C，點C座標為...

問題詳情：

如圖1，已知二次函式y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交於點A(0，4)，與x軸交於點B，C，點C座標為(8，0)，連線AB，AC.

(1)請直接寫出二次函式y＝ax2＋x＋c的表示式；

(2)判斷△ABC的形狀，並說明理由；

(3)若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的座標；

(4)如圖2，若點N線上段BC上運動(不與點B，C重合)，過點N作NM∥AC，交AB於點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的座標．

圖1

圖2

【回答】

解：(1)y＝－x2＋x＋4.

提示：∵二次函式y＝ax2＋x＋c的圖象與y軸交於點A(0，4)，與x軸交於點B，C，點C座標為(8，0)，

∴解得

∴拋物線的表示式為y＝－x2＋x＋4.

(2)△ABC是直角三角形．理由如下：

令y＝0，則－x2＋x＋4＝0，

解得x1＝8，x2＝－2，

∴點B的座標為(－2，0)．

在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，

在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80.

又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，

∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，

∴△ABC是直角三角形．

(3)∵A(0，4)，C(8，0)，

∴AC＝＝4.

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸於點N，此時N的座標為(－8，0)；

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸於點N，此時N的座標為(8－4，0)或(8＋4，0)；

③作AC的垂直平分線，交x軸於點N，此時N的座標為(3，0)．

綜上所述，若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的座標分別為(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)．

(4)設點N的座標為(n，0)，則BN＝n＋2.

如圖，過點M作MD⊥x軸於點D，

∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，

∴＝.

∵MN∥AC，∴＝，∴＝.

∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)．

∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD

＝(n＋2)×4－×(n＋2)2

＝－(n－3)2＋5，

當n＝3時，S△AMN最大，

∴當△AMN面積最大時，N點座標為(3，0)．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題