如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿對角線BD將△ABD折起，使點A，C之間的距離為，若P，...

問題詳情：

如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿對角線BD將△ABD折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段BD，CA上的動點．

(1) 求線段PQ長度的最小值;

(2) 當線段PQ長度最小時，求直線PQ與平面ACD所成角的正弦值．

【回答】

取BD的中點E，連線AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD，AE=CE=．

因為AC=，所以AE2+CE2=AC2，所以三角形ACE為直角三角形，所以AE⊥CE，

所以AE⊥平面BCD． (2分)

以EB，EC，EA分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系，則B(1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，)．    (3分)

(1) 設P(a，0，0)，=λ=(0，-λ，λ)，

則=+=(-a，，0)+(0，-λ，λ)=(-a，-λ，λ)，

||=

=

= (5分)

當a=0，λ=時，PQ長度最小值為．   (6分)

(2) 由(1)知=，設平面ACD的一個法向量為n=(x，y，z)．

由n⊥DA，n⊥DC，得 化簡，得取n=(，-1，-1)．    (8分)

設PQ與平面ACD所成角為θ，

則sin θ=|cos<，n>|==，

故直線PQ與平面ACD所成角的正弦值為．    

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題