問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、於E、F．探究圖中線段，，之間的數量關係．...

問題詳情：

問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、於E、F．探究圖中線段，，之間的數量關係．小李同學探究此問題的方法是：延長到G，使，連線，先*，再*，可得出結論，他的結論就是_______________；

探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、於E、F．上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．

探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點旋轉，它的兩邊分別交、於E、F．上述結論是否仍然成立？並說明理由．

實際應用：如圖4，在某次*事演習中，艦艇*在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，並且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令後，艦艇*向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時後，指揮中心觀測到*、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．

【回答】

EF=AE+CF．探究延伸1：結論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結論EF=AE+CF仍然成立．實際應用：210海里．

【解析】

延長到G，使，連線，先*，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再*，可得GF=EF，即可解題；

探究延伸1：延長到G，使，連線，先*，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再*，可得GF=EF，即可解題；

探究延伸2：延長到G，使，連線，先*，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再*，可得GF=EF，即可解題；

實際應用：連線EF，延長AE，BF相交於點C，然後與探究延伸2同理可得EF=AE+CF，將AE和CF的長代入即可．

【詳解】

解：EF=AE+CF

理由：延長到G，使，連線，

在△BCG和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE+∠CBF=60°，

∴∠CBG+∠CBF=60°，

即∠GBF=60°，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

探究延伸1：結論EF=AE+CF成立．

理由：延長到G，使，連線，

在△BCG和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，

即∠GBF=∠ABC，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

探究延伸2：結論EF=AE+CF仍然成立．

理由：延長到G，使，連線，

∵，∠BCG+∠BCD=180°，

∴∠BCG=∠BAD

在△BCG和△BAE中，

，

∴（SAS），

∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，

∵∠ABC=2∠MBN，

∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，

∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，

即∠GBF=∠ABC，

在△BGF和△BEF中，

，

∴△BGF≌△BEF（SAS），

∴GF=EF，

∵GF=CG+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

實際應用：連線EF，延長AE，BF相交於點C，

∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB

∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，

∴符合探索延伸中的條件

∴結論EF= AE+CF仍然成立

即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）

答：此時兩艦艇之間的距離為210海里．

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與*質．作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題