如圖，四邊形是正方形，點為對角線的中點．（1）問題解決：如圖①，連線，分別取，的中點，，連線，則與的數量關係是...

問題詳情：

如圖，四邊形是正方形，點為對角線的中點．

（1）問題解決：如圖①，連線，分別取，的中點，，連線，則與的數量關係是_____，位置關係是____；

（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點按順時針方向旋轉得到的三角形，連線，點，分別為，的中點，連線，．判斷的形狀，並*你的結論；

（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點按逆時針方向旋轉得到的三角形，連線，點，分別為，的中點，連線，．若正方形的邊長為1，求的面積．

【回答】

（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據中位線的*質即可求解；

（2）連線並延長交於點，根據題意*出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；

（3）延長交邊於點，連線，．*出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再*出為等腰直角三角形，根據圖形的*質和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計算出的面積．

【詳解】

解：（1）∵點P和點Q分別為，的中點，

∴PQ為△BOC的中位線，

∵四邊形是正方形，

∴AC⊥BO，

∴，；

故*為：，；

（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：

連線並延長交於點，

由正方形的*質及旋轉可得，∠，

是等腰直角三角形，，．

∴，．

又∵點是的中點，∴．

∴．

∴，．

∴，∴．

∴為等腰直角三角形．

∴，．

∴也為等腰直角三角形．

又∵點為的中點，

∴，且．

∴的形狀是等腰直角三角形．

（3）延長交邊於點，連線，．

∵四邊形是正方形，是對角線，

∴．

由旋轉得，四邊形是矩形，

∴，．

∴為等腰直角三角形．

∵點是的中點，

∴，，．

∴．

∴，．

∴．

∴．

∴為等腰直角三角形．

∵是的中點，

∴，．

∵，

∴，，

∴．

∴．

【點睛】

本題考查正方形的*質、等腰直角三角形的判定與*質、旋轉圖形的*質、三角形中位線定理、全等三角形的判定與*質和勾股定理，根據題意作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題