如圖,在平面直角座標系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點M、N均在直線x=5上.圓弧C...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點M、N均在直線x=5上.圓弧C1的圓心是座標原點O,半徑為r1=13;圓弧C2過點A(29,0).
(1) 求圓弧C2所在圓的方程;
(2) 曲線C上是否存在點P,滿足PA=PO?若存在,指出有幾個這樣的點;若不存在,請說明理由;
(3) 已知直線l:x-my-14=0與曲線C交於E、F兩點,當EF=33時,求座標原點O到直線l的距離.
【回答】
解:(1) 由題意得,圓弧C1所在圓的方程為x2+y2=169.令x=5,解得M(5,12),N(5,-12),又C2過點A(29,0),設圓弧C2所在圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則
所以圓弧C2所在圓的方程為x2+y2-28x-29=0.
(2) 假設存在這樣的點P(x,y),則由PA=PO,得(x-29)2+y2=30(x2+y2),即x2+y2+2x-29=0.
由
解得x=-70(捨去);
由
解得x=0(捨去).所以這樣的點P不存在.
(3) 因為圓弧C1、C2所在圓的半徑分別為r1=13,r2=15,因為EF>2r1,EF>2r2,所以E、F兩點分別在兩個圓弧上.設點O到直線l的距離為d,因為直線l恆過圓弧C2所在圓的圓心(14,0),所以EF=15+
即=18,解得d2=,所以點O到直線l的距離為.
知識點:圓與方程
題型:解答題
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