如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交於點O，直角∠MPN的頂點P與點O重合，直角邊PM，PN分...

問題詳情：

如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交於點O，直角∠MPN的頂點P與點O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然後逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC於E、F兩點，連線EF交OB於點G，則下列結論中正確的是　   　．

（1）EF=OE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；（4）OG•BD=AE2+CF2．

【回答】

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=OE；故正確；

（2）∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，

∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確；

（3）過點O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴OH=BC=，

設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH=x（1﹣x）+（1﹣x）×=﹣（x﹣）2+，

∵a=﹣＜0，

∴當x=時，S△BEF+S△COF最大；

即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；故錯誤；

（4）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，

∴△OEG∽△OBE，

∴OE：OB=OG：OE，

∴OG•OB=OE2，

∵OB=BD，OE=EF，

∴OG•BD=EF2，

∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，

∴EF2=AE2+CF2，

∴OG•BD=AE2+CF2．故正確．

故*為（1）（2）（4）．

知識點：相似三角形

題型：綜合題