(2010•順義區二模)在平面直角座標系xOy中,A、B為反比例函式(x>0)的圖象上兩點,A點的橫座標與B點...
練習題3.32W
問題詳情:
(2010•順義區二模)在平面直角座標系xOy中,A、B為反比例函式(x>0)的圖象上兩點,A點的橫座標與B點的縱座標均為1,將(x>0)的圖象繞原點O順時針旋轉90°,A點的對應點為A′,B點的對應點為B′.(1)求旋轉後的圖象解析式;(2)求A′、B′點的座標;(3)連線AB′、動點M從A點出發沿線段AB'以每秒1個單位長度的速度向終點B′運動;動點N同時從B′點出發沿線段B′A′以每秒1個單位長度的速度向終點A′運動,當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動.設運動的時間為t秒,試探究:是否存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值,若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.試題*
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【*】分析:(1)首先把x=1代入反比例函式(x>0)的解析式,求出對應的y值,得到A點座標,然後由旋轉的*質得出∠AOA′=90°,OA=OA′,如果分別過A、A′作AM⊥y軸於M,A′N⊥x軸於N,連線OA,OA′,易*△OAM≌△OA′N,得到A′的座標,從而求出旋轉後的圖象解析式;(2)上問已經求出A′的座標,同樣求出點B′的座標;(3)首先運用待定係數法求出直線A′B′的解析式,由斜率k的值可知∠A′B′A=45°.然後假設存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值,那麼分兩種情況討論:①∠B′NM=90°;②∠B′MN=90°.針對每一種情況,都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程,從而求出結果.解答:解:(1)∵A為反比例函式(x>0)的圖象上的點,A點的橫座標為1,∴A點座標為(1,4).分別過A、A′作AM⊥y軸於M,A′N⊥x軸於N,連線OA,OA′.∵將(x>0)的圖象繞原點O順時針旋轉90°,A點的對應點為A',∴∠AOA′=90°,OA=OA′.在△OAM與△OA′N中,∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON,∠AMO=∠A′NO=90°,OA=OA′,∴△OAM≌△OA′N,∴OM=ON=4,AM=A′N=1,∴A′的座標為(4,-1),∴旋轉後的圖象解析式為y=-;(2)∵B為反比例函式(x>0)的圖象上兩點,B點的縱座標為1,∴B(4,1),又∵將(x>0)的圖象繞原點O順時針旋轉90°,A點的對應點為A',B點的對應點為B',上問求出A點座標(1,4)的對應點A′的座標為(4,-1),同理求出B點座標(4,1)的對應點B′的座標為(1,-4);(3)設直線A′B′的解析式為y=kx+b,則4k+b=-1,k+b=-4,解得k=1,b=-5,∴y=x-5,∴∠A′B′A=45°.如果△MNB'為等腰直角三角形,那麼分兩種情況:①∠B′NM=90°;②∠B′MN=90°.∵AM=B′N=t,∴B′M=AB′-AM=8-t.①當∠B′NM=90°時,B′M=B′N,∴8-t=t,解得t=8-8;②當∠B′MN=90°時,B′N=B′M,∴t=(8-t),解得t=16-8.∵A′B′==3,AB′=8,∴0≤t≤3.又∵16-8>3,∴t=16-8捨去.故當t=8-8時,△MNB'為等腰直角三角形.點評:此題綜合考查了反比例函式、等腰直角三角形、旋轉的*質等多個知識點.要注意(3)首先需根據已知條件確定哪些角可能是直角,要考慮到所有的情況,不要漏解.此題難度稍大,綜合*比較強,注意對各個知識點的靈活應用.
【回答】
【*】分析:(1)首先把x=1代入反比例函式(x>0)的解析式,求出對應的y值,得到A點座標,然後由旋轉的*質得出∠AOA′=90°,OA=OA′,如果分別過A、A′作AM⊥y軸於M,A′N⊥x軸於N,連線OA,OA′,易*△OAM≌△OA′N,得到A′的座標,從而求出旋轉後的圖象解析式;(2)上問已經求出A′的座標,同樣求出點B′的座標;(3)首先運用待定係數法求出直線A′B′的解析式,由斜率k的值可知∠A′B′A=45°.然後假設存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值,那麼分兩種情況討論:①∠B′NM=90°;②∠B′MN=90°.針對每一種情況,都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程,從而求出結果.解答:解:(1)∵A為反比例函式(x>0)的圖象上的點,A點的橫座標為1,∴A點座標為(1,4).分別過A、A′作AM⊥y軸於M,A′N⊥x軸於N,連線OA,OA′.∵將(x>0)的圖象繞原點O順時針旋轉90°,A點的對應點為A',∴∠AOA′=90°,OA=OA′.在△OAM與△OA′N中,∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON,∠AMO=∠A′NO=90°,OA=OA′,∴△OAM≌△OA′N,∴OM=ON=4,AM=A′N=1,∴A′的座標為(4,-1),∴旋轉後的圖象解析式為y=-;(2)∵B為反比例函式(x>0)的圖象上兩點,B點的縱座標為1,∴B(4,1),又∵將(x>0)的圖象繞原點O順時針旋轉90°,A點的對應點為A',B點的對應點為B',上問求出A點座標(1,4)的對應點A′的座標為(4,-1),同理求出B點座標(4,1)的對應點B′的座標為(1,-4);(3)設直線A′B′的解析式為y=kx+b,則4k+b=-1,k+b=-4,解得k=1,b=-5,∴y=x-5,∴∠A′B′A=45°.如果△MNB'為等腰直角三角形,那麼分兩種情況:①∠B′NM=90°;②∠B′MN=90°.∵AM=B′N=t,∴B′M=AB′-AM=8-t.①當∠B′NM=90°時,B′M=B′N,∴8-t=t,解得t=8-8;②當∠B′MN=90°時,B′N=B′M,∴t=(8-t),解得t=16-8.∵A′B′==3,AB′=8,∴0≤t≤3.又∵16-8>3,∴t=16-8捨去.故當t=8-8時,△MNB'為等腰直角三角形.點評:此題綜合考查了反比例函式、等腰直角三角形、旋轉的*質等多個知識點.要注意(3)首先需根據已知條件確定哪些角可能是直角,要考慮到所有的情況,不要漏解.此題難度稍大,綜合*比較強,注意對各個知識點的靈活應用.知識點:
題型:
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