我們知道：如圖①，點把線段分成兩部分，如果．那麼稱點為線段的黃金分割點．它們的比值為．（1）在圖①中，若，則的...

問題詳情：

我們知道：如圖①，點把線段分成兩部分，如果．那麼稱點為線段的黃金分割點．它們的比值為．

（1）在圖①中，若，則的長為_____；

（2）如圖②，用邊長為的正方形紙片進行如下*作：對摺正方形得摺痕，連線，將摺疊到上，點對應點，得摺痕．試說明是的黃金分割點；

（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為的正方形的邊上任取點，連線，作，交於點，延長、交於點．他發現當與滿足某種關係時、恰好分別是、的黃金分割點．請猜想小明的發現，並說明理由．

【回答】

（1）；（2）見解析；（3）當PB=BC時，、恰好分別是、的黃金分割點，理由見解析

【分析】

（1）由黃金比值直接計算即可；

（2）如圖，連線GE，設BG=x，則AG=20-x，易*得四邊形EFCD是矩形，可求得CE，由摺疊知GH=BG=x，CH=BC=20，進而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得關於x的方程，解之即可*得結論；

（3）當PB=BC時，*得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,則有BF=AE，設BF=x，則AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可*得結論．

【詳解】

（1）AB=×20=（）(cm)，

故*為：；

（2）如圖，連線GE，設BG=x，則GA=20-x，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠D=90º，

由摺疊*質得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10，

在Rt△CDE中，CE=，

∴EH=，

在Rt△GHE中，

在Rt△GAE中，,

∴，

解得：x=，

即，

∴是的黃金分割點；

（3）當PB=BC時，、恰好分別是、的黃金分割點．

理由：∵，

∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º，

∴∠ABE=∠BCF，

∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC，

∴△BAE≌△CBF（ASA），

∴AE=BF，

設AE=BF=x，則AF=a-x，

∵AD∥BC即AE∥PB，

∴即，

∴，

解得：或(捨去)，

即BF=AE=，

∴，

∴、分別是、的黃金分割點．

【點睛】

本題考查了正方形的*質、摺疊*質、勾股定理、全等三角形的判定與*質、平行線分線段成比例、解一元二次方程等知識，解答的關鍵是認真審題，找出相關資訊的關聯點，確定解題思路，進而推理、探究、發現和計算．

知識點：解一元二次方程

題型：解答題