正方形ABCD中，M，N分別是直線CB，DC上的動點，∠MAN＝45°.(1)如圖①，當∠MAN交邊CB，DC...

問題詳情：

正方形ABCD中，M，N分別是直線CB，DC上的動點，∠MAN＝45°.

(1)如圖①，當∠MAN交邊CB，DC於點M，N時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關係？請*；

(2)如圖②，當∠MAN分別交邊CB，DC的延長線於點M，N時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，並加以*；

(3)在圖①中，若正方形的邊長為16 cm，DN＝4 cm，請利用(1)中的結論，試求MN的長．

【回答】

解：(1)BM＋DN＝MN.*：延長CD至點Q，使DQ＝BM，連結AQ，易*△ADQ≌△ABM(SAS)，∴AQ＝AM，∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠DAN＋∠DAQ＝∠DAN＋∠BAM＝90°－∠MAN＝45°＝∠MAN，∴△AQN≌△ANM(SAS)，∴MN＝QN＝DN＋DQ＝BM＋DN　(2)DN－BM＝MN.*：在DN上擷取DK＝BM，連結AK，易*△ADK≌△ABM，∴AK＝AM，∠DAK＝∠BAM，∵∠MAN＝∠BAM＋∠BAN＝∠DAK＋∠BAN＝45°，即∠DAK＋∠BAN＝45°，∴∠KAN＝90°－(∠DAK＋∠BAN)＝90°－45°＝45°，∴∠KAN＝∠MAN＝45°，∴△KAN≌△MAN(SAS)，∴MN＝KN＝DN－DK＝DN－BM　(3)設MN＝x，則BM＝MN－DN＝x－4，CM＝BC－BM＝16－(x－4)＝20－x，在Rt△CMN中，由勾股定理得(16－4)2＋(20－x)2＝x2，解得x＝13.6，∴MN＝13.6 cm

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題