如圖，點A(1，)為橢圓＋＝1上一定點，過點A引兩直線與橢圓分別交於B，C兩點．(1)求橢圓方程；(2)若直線...

問題詳情：

如圖，點A(1，)為橢圓＋＝1上一定點，過點A引兩直線與橢圓分別交於B，C兩點．

(1)求橢圓方程；

(2)若直線AB，AC與x軸圍成的是以點A為頂點的等腰三角形．

①求直線BC的斜率；

②求△ABC的面積的最大值，並求出此時直線BC的方程．

【回答】

解　(1)把點A(1，)代入＋＝1得n＝6，故橢圓方程為＋＝1. …………2分

(2)①顯然題中等腰三角形腰所在的直線不可能與x軸垂直．

因此其斜率必存在，設兩腰的斜率分別為k1，k2，

消去y，得(3＋k)x2＋2k1(－k1)x＋(－k1)2－6＝0，

∴點B的橫座標為x＝1－ (x＝1為點A的橫座標)，

∴點B的縱座標為y＝－，

即                         ………………6分

同理可得點C的座標為C.

∵k1＋k2＝0，∴直線BC的斜率為kBC＝.                      ………………8分

②設B(x1，y1)，C(x2，y2)，直線BC的方程為y＝x＋m，代入方程＋＝1得6x2＋2mx＋m2－6＝0，

∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，

∴BC＝·|x1－x2|＝2·，

又點A到直線BC的距離為d＝，

∴S△ABC＝BC·d＝

∴當m2＝6，即m＝或m＝－時，△ABC面積取得最大值.

此時，直線BC的方程為y＝x±.                           ………………16分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題